<t->
          Matemtica
          7 Ano 
          Ensino Fundamental

          Edwaldo Bianchini          

          Impresso Braille em 8 partes, 
          na diagramao de 28 linhas por 
          34 caracteres, 6 edio, da 
          Editora Moderna 2006.

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa 
          Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Matemtica (Ensino 
          Fundamental) 7 ano 
          (C) Edwaldo Bianchini 2006 

          Coordenao editorial: 
          Juliane Matsubara Barroso

          Edio de texto: 
          Dario Martins de Oliveira, 
          Maria Ceclia da Silva 
          Veridiano, Maria 
          Tereza Galluzzi, William Raphael Silva

          Assistncia Editorial:
          Ktia Takahashi, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA MODERNA LTDA.
          Rua Padre Adelino, 758 -- 
          Belenzinho
          So Paulo -- SP -- Brasil
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501
          ~,www.moderna.com.br~,
<P>
                               I
 Sumrio

Quinta Parte

 CAPTULO 7 -- Simetria 
  e ngulos
 1. Reconhecendo a 
  simetria :::::::::::::::::: 455
 Figuras com mais de um eixo 
  de simetria ::::::::::::::: 459
 2. Simetria em relao a 
  uma reta :::::::::::::::::: 465
 3. ngulos complementares
  e ngulos 
  suplementares ::::::::::::: 477
 ngulos complementares ::::: 477
 ngulos suplementares :::::: 482
 4. ngulos opostos pelo 
  vrtice ::::::::::::::::::: 490
 Propriedade dos ngulos 
  opostos pelo vrtice :::::: 492

 CAPTULO 8 -- Razes e 
  propores
 1. O conceito de razo :::: 502
 2. Razo entre grandezas 
  de mesma natureza ::::::::: 517
 Escala ::::::::::::::::::::: 525
 3. Razo entre grandezas 
  de naturezas 
  diferentes :::::::::::::::: 535
 Gramatura de um papel :::::: 535
 Velocidade mdia ::::::::::: 536
 Densidade demogrfica :::::: 537
 Consumo mdio :::::::::::::: 538
 4. Proporo :::::::::::::: 547
 5. Propriedade fundamental 
  das propores :::::::::::: 554

 Para saber mais
 As razes de uma boa 
  pescaria :::::::::::::::::: 512
<158>
<tmatemtica 7 ano>
<t+455>
CAPTULO 7 -- Simetria e
  ngulos

<R+>
 _`[{o contedo desse captulo, assim como as atividades propostas,
so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea
orientao ao professor_`]
<R->

1. Reconhecendo a simetria

  A natureza sempre produziu formas de extrema beleza, e o ser
humano procura aproveitar isso em suas criaes. No h quem no
admire o equilbrio e a harmonia de figuras como as que aparecem
nas fotos a seguir.

<R+>
_`[{duas fotos seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Borboleta da Serra do Japi (SP). 
 Legenda 2: Orqudea da flora brasileira.
<R->

<P>
  Note que podemos imaginar -- tanto para a figura da orqudea quanto
para a da borboleta -- uma linha reta que as divida em duas partes
praticamente iguais.  a ideia da simetria presente na natureza!

  O Alhambra, localizado
em Granada, na Espanha, 
um rico complexo de palcios
que exibe os caractersticos
elementos da arquitetura
islmica na Espanha. A ideia
da simetria est presente
na estrutura arquitetnica,
assim como nos diversos
mosaicos que recobrem as
paredes dos palcios.

<R+>
_`[{foto_`]
 Legenda: O *Patio de Los 
  Arrayanes*, na Torre de
  Comares,  um dos belos locais do
complexo de Alhambra.
<R->

<159>
  Mas, afinal, o que  simetria?  
  Mesmo sem conhecer a definio desse conceito,  possvel reconhecer intuitivamente a
simetria em vrias figuras planas.
  Vamos fazer uma pequena experincia para obter uma figura com simetria.
<R+>
  Pegamos uma folha de papel e uma tesoura sem ponta.
  Dobramos a folha de papel ao meio, passando a mo sobre o papel dobrado e sobre o vinco.
  Desenhamos uma das metades de uma figura.
  Recortamos o papel na linha do desenho.
  Abrimos novamente o papel e observamos a figura obtida. Ela ficou dividida pelo vinco do
papel em duas partes idnticas, que coincidem ao dobrarmos o papel no vinco.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O vinco formado pela dobra representa uma linha reta que podemos chamar de eixo de
simetria, pois ela divide a figura em duas partes com mesma forma e mesmo tamanho, como
se uma fosse a imagem, refletida em um espelho, da outra. Por isso dizemos que a figura obtida
no papel  uma figura que apresenta simetria.
  Se uma figura no tem simetria, dizemos que ela  assimtrica.
  Veja um exemplo:

_`[{figura no adaptada_`]

  Note que, nessa figura, no podemos traar um eixo de simetria.
  Observe agora esta figura:

_`[{figura no adaptada_`]

  Essa figura tem mais de um eixo de simetria. Destacamos trs, mas h outros.
<P>
  Voc consegue identificar quais so os outros eixos?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<160>
Figuras com mais de um eixo de 
  simetria

  Observe o tringulo equiltero a seguir, reproduzido quatro vezes.

<F->

_
_  ^~
_      ^~
_        ~^  
_    ~^
_~^   
     a  
<P> 
  _~
  _   ^~
  _       ^~
::_::::::::::h::: 
  _     ~^      b
  _~^    

     c  
_~   
_   ^t
_      ^~
_        ~^  
_    ~^
_~^    
                  
<F+>

<R+>
 _`[{o quarto tringulo no foi representado. Ele contm
os trs eixos de simetria juntos_`]
<R->

  Note que as retas *a*, *b* e *c* so eixos de simetria desse tringulo. Por isso, dizemos que o tringulo
equiltero tem 3 eixos de simetria.
<P>
  Existem outros polgonos com mais de um eixo de simetria. Veja:

_`[{um losango e um quadrado no 
  adaptados_`]

  O tringulo equiltero tem 3 lados e 3 eixos de simetria. O quadrado tambm segue esse
padro: tem 4 lados e 4 eixos de simetria. No entanto, o losango apresentado tem 4 lados e
somente 2 eixos de simetria. O que os diferencia?

  Todo polgono que tem o nmero de lados igual ao nmero de eixos
de simetria  denominado polgono regular.

<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

_`[{para as atividades a seguir pea orientao ao professor_`]

 1- Desenhe em seu caderno uma figura assimtrica e uma
figura simtrica, identificando seu eixo de simetria.
 2- Entre as figuras geomtricas _`[{no adaptadas_`],
quais possuem eixo de simetria? Escreva a resposta em seu caderno.
<161>
 3- Veja as fotos _`[{no adaptadas_`]. Em qual das imagens h simetria?
 4- Em que casos a reta r representa um eixo de simetria da figura? 
Responda  questo em seu caderno.

_`[{seis figuras no adaptadas_`]

 5- Reproduza os desenhos em uma folha de papel quadriculado e desenhe a metade que est
faltando, sabendo que a reta *e*  
<P>
  um eixo de simetria de cada figura.

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

<162>
 6- Descreva como voc pode modificar a casa
_`[{no adaptada_`] para que ela se torne
simtrica em relao  reta r.
 7- Marina desenhou a reta s, afirmando que
essa reta representa o eixo de simetria da
carta de baralho da foto. _`[{no adaptada_`] Na sua
opinio, Marina tem razo?

 8- Observe os polgonos _`[{no adaptados_`] e resolva o
problema em seu caderno.
 a) Entre os polgonos dados, quais tm
tantos lados quantos so seus eixos de
simetria? Com uma rgua e um transferidor,
mea os lados e os ngulos internos
dos polgonos que voc identificou.
O que voc observa?
<P>
 b) Desenhe um tringulo issceles que
tenha um ngulo interno reto. Quantos
eixos de simetria esse tringulo tem?
Ele  um polgono regular? Por qu?
 c) Desenhe um tringulo escaleno que tenha
um ngulo interno reto. Quantos eixos de simetria 
esse tringulo tem? Ele  um polgono regular? Por qu?
 d) Verifique se a afirmao a seguir
 verdadeira ou falsa: Todos os polgonos 
que tm todos os lados de mesma medida so
polgonos regulares. Justifique sua resposta.

 9- Observe as pinturas dos artistas Luiz Sacilotto
e Milton Dacosta:

_`[{duas pinturas_`]
 Legenda 1: Concreo. Luiz Sacilotto, 1979. leo sobre tela
fixada em madeira, 100{"100 cm.
<P>
 Legenda 2: Em vermelho, Milton Dacosta, 1958.
leo sobre tela, 73{"92 cm.

 Em qual das duas obras h simetria? Justifique sua resposta. 

<163>
2. Simetria em relao a uma 
  reta

  Observe esta foto:

_`[{foto seguida de legenda_`]
 Legenda: Viso noturna do Congresso Nacional, em Braslia (DF). (Foto de 2005.)
<R->

  A paisagem real e a imagem formada na gua do a ideia de figuras
simtricas em relao a uma reta.
  
  Na ilustrao, _`[{no adaptada_`] o espelho acoplado
 mesa fornece a imagem refletida da fi-
<P>
gura A (vermelha), que est desenhada na folha de papel.
  A figura e sua imagem tm mesma forma
e mesmo tamanho, porm esto em posies
opostas em relao  linha reta onde
o espelho est apoiado.
  Representando na folha de papel a imagem da figura refletida
no espelho (A') e a reta r em que este se apoia, obtemos
a figura: _`[{no adaptada_`]
  Dizemos que as duas figuras so simtricas em relao 
reta r, denominada eixo de simetria. Dizemos tambm que
fizemos uma reflexo da figura A em relao  reta r, obtendo
a figura refletida A'
  Observe outra situao na malha quadriculada.

<R+>
_`[{duas figuras, em malha quadriculada, no adaptadas_`]
<R->

<164>
  Note que as figuras 1 e 2 so simtricas em relao  reta *e*.
<P>
  Dessa forma, cada ponto da figura 1 tem um ponto correspondente na figura 2 que  seu
simtrico em relao ao eixo *e*. Por exemplo:
<R+>
  A e A' so simtricos em relao  reta *e*;
  B'  o simtrico de B em relao  reta *e*;
  C'  a imagem de C por meio da reta *e*.
<R->
  Tambm podemos afirmar que os pontos simtricos em relao  reta *e* esto  mesma distncia
dessa reta, em posies opostas.
  Representando a medida do lado da quadrcula da malha por u, verificamos na figura que:
<R+>
  B e B' esto a 4 u da reta *e*;
  D e D' esto a 7 u da reta *e*;
  G e G' esto a 2 u da reta *e*.
<R->
  Isso sempre ocorre com duas figuras simtricas em relao a uma reta: cada ponto de uma
delas  simtrico de um ponto da outra em relao  mesma reta, e vice-versa, e os pontos
simtricos esto  mesma distncia da reta considerada.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

_`[{para as atividades a seguir pea orientao ao professor_`]

 10- Reproduza cada figura e a reta r em uma
folha quadriculada. Em seguida, desenhe
a figura simtrica em relao a essa reta.

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

 11- Reproduza as figuras em uma folha quadriculada,
sem as interrogaes. Desenhe as figuras obtidas destas 
por reflexes sucessivas em relao s retas r e s, nessa ordem.

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

  Nos dois itens, considere a figura dada
como figura 1, a figura obtida aps a
primeira reflexo como figura 2, e a figura
obtida aps a terceira reflexo como
figura 3. Qual ser a posio da figura 3
em relao  figura 1?
<165>
 12- Reproduza em papel quadriculado a estrela e a reta r _`[{no adaptadas_`].
Desenhe a simtrica da estrela em relao  reta r e
marque o ponto A', simtrico do ponto A, destacado na estrela.

 13- Na malha quadriculada, a figura 2  simtrica da 
figura 1 em relao  reta r, e a figura 3  simtrica da figura 2 em relao  reta s.

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

 Considere o lado do quadradinho da malha quadriculada como uni-
<P>
  dade de medida de comprimento (u).
 a) Expresse a distncia entre as retas paralelas r e s nessa unidade.
 b) Qual  a distncia entre P e P' nessa mesma unidade?
 c) O que voc observa quanto s distncias obtidas nos itens *a* e *b*?
 d) As figuras 1 e 3 so simtricas em relao a alguma reta? Por qu?
 e) Que relao existe entre a figura 1 e a figura 3?

 14- Conforme a figura, _`[{no adaptada_`] algumas letras vistas no espelho
aparecem inalteradas, enquanto outras, no.
As que tm um eixo de simetria horizontal so as que aparecem
inalteradas quando vistas em um espelho colocado
verticalmente sobre a mesa. No alfabeto h 9 letras com
essa propriedade. Quais so elas? Agora desenhe em seu caderno a imagem das seguintes
palavras refletidas no espelho.

<166>
15- Considere as retas perpendiculares r e s e o tringulo
  {a{b{c, representados na malha quadriculada.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 a) Copie essa representao em uma folha
de papel quadriculado.
 b) Construa o tringulo {d{e{f, simtrico
ao tringulo {a{b{c em relao  reta r, o tringulo
{g{h{i, simtrico ao tringulo {d{e{f em relao  reta s,
e o tringulo {j{k{l, simtrico ao tringulo {g{h{i em relao  reta r.
 c) O tringulo {j{k{l  simtrico ao tringulo {a{b{c em relao a qual reta?

16- Se, a partir do segmento ^c?{a{b*, construirmos
as trs figuras conforme as simetrias indicadas
na atividade anterior, que figura ser formada em cada item?

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

 17- A simetria tambm est presente em
muitos objetos de decorao, como nos
exemplos a seguir:

_`[{duas fotos_`]
 Legenda 1: Os azulejos coloniais decorativos so marca de
So Lus, capital do Maranho.
 Legenda 2: Tapete tpico dos navajos, povo indgena norte-americano.

 Nas faixas decorativas e na tapearia de inspirao geomtrica,
os padres se repetem preenchendo toda a superfcie.
 a) Elabore padres repetidos, isto , que apresentem simetria, 
semelhantes aos de uma faixa decorativa.
 b) Em seu caderno, faa uma descrio detalhada do processo
que usou para criar seu desenho.
 c) Apresente seu desenho para os colegas
da classe, identificando um eixo de simetria.

 18- Construa dois pontos simtricos em relao
a uma reta, seguindo as instrues:
Em uma folha de papel sulfite, construa
uma reta r e um ponto P fora dela. Dobre
a folha na reta r e decalque o ponto P,
obtendo um novo ponto. Desdobre a folha
e nomeie esse novo ponto de P' O ponto
P', assim construdo,  simtrico a P em
relao  reta r?
 19- Dados a reta s e o segmento ^c?{m{n*,
explique como voc construiria, por meio
de dobraduras, o segmento ^c?{m'{n'*, simtrico
a ^c?{m{n* em relao  reta s _`[{no adaptada_`].

<167>
<P>
Pense mais um pouco...

_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Faa, em seu caderno, as seguintes construes:
 a) Partindo de um ponto P e de uma reta r, construa, usando rgua e compasso,
um ponto P', simtrico a P em relao  reta r.
 b) Partindo de um segmento ^c?{m{n* e de uma reta s, construa, usando rgua e
compasso, um segmento ^c?{m'{n'*, simtrico a ^c?{m{n* em relao  reta s.

 2. Escreva um texto explicando como voc fez para construir as figuras pedidas.
 3. Rena-se com um colega e compare o texto que voc escreveu com o dele. H
diferenas nos processos de construo?

<P>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

_`[{para as atividades 20, 21, 23 e 24, pea orientao ao professor_`]

 20- Reproduza a malha com a figura e
desenhe a parte que falta para obter uma
figura que apresente simetria em relao
 reta *e*.

_`[{figura no adaptada_`]

 21- Considere os paralelogramos a seguir e, em
seguida, responda s questes em seu
caderno.

<F->
I
        ~^~
    ~^       ^~
~^               ^~
  ^~           ~^
      ^~   ~^
          ^ 
<P>
II
   ccccccccm
          
         
--------

III
pccc
l   _
l   _
l   _
l   _
l   _
v---#

IV
pcccccc
l      _
l      _
v------#
<F+>

 a) Qual  a classificao de cada paralelogramo?
 b) Quais deles tm pelo menos um eixo de simetria?
 c) Quais deles tm mais de dois eixos de simetria? Nesse caso,
<P>
  identifique a quantidade de eixos.

 22- A bandeira nacional brasileira apresenta
simetria? Justifique sua resposta.

 _`[{figura da bandeira do Brasil com as seguintes medidas: 
6 cm de lado e 4,2 cm de altura_`]

 23- Quantos eixos de simetria podemos identificar na figura _`[{no adaptada_`]?
<168>
 24- Reproduza em uma folha de papel quadriculado
as figuras _`[{no adaptadas_`] e construa a
simtrica em relao  reta t.

3. ngulos complementares e 
  ngulos suplementares

ngulos complementares
<R->

  Considere o ngulo :?{a{o{b*. Com o auxlio de rgua e esquadro, traamos pelo vrtice O a
<P>
 semirreta :,?{o{c*, perpendicular a :,?{o{a*:

<F->
        
    {b o
         
     
       
      
    
 ~::::::::::::::o:
{o              {a

   _      
{c o {b o
   _       
   _   
   _     
   _    
   _  
   ::::::::::::::o:
  {o              {a
<F+>

  Com isso, obtemos dois novos ngulos: o ngulo :?{a{o{c*, que  reto, e o ngulo :?{b{o{c*.
<P>
  A soma das medidas dos ngulos :?{a{o{b* e :?{b{o{c* , portanto, 90.
  Dizemos, por isso, que :?{a{o{b* e :?{b{o{c* so ngulos complementares.

  Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas  90.
  Dizemos, ento, que um  complemento do outro.
  No caso anterior, :?{b{o{c*  complemento de :?{a{o{b*, e vice-versa.
<169>
  Veja alguns exemplos:
 
 Exemplo 1

  Ao medirmos os ngulos internos do tringulo
a seguir, encontramos as medidas indicadas. 
Como 35+55=90, ento :?{a{b{c* e :?{b{c{a* 
so ngulos complementares ou, ainda, :?{a{b{c*  o
<P>
 complemento de :?{b{c{a* (e vice-versa).
<F->
             A 
             .
           .a  
         .a :a 
       .a          
     .a           
   .a :b      :c 
 -u-----------------u
 B                C
<F+>
 
 :a=90
 :b=35
 :c=55
 
 Exemplo 2

  Com auxlio de um esquadro, vamos construir o complemento
de alguns ngulos agudos. Observe:
<P>
<F->
  {a            {b
::o::::::::::::o
              ^ l
            ^   l
          ^     l
        ^       l
   {c o         l
    ^       {d o 
                 l  
<F+>

  O ngulo :?{c{b{d*  o complemento do ngulo :?{a{b{c*, e vice-versa.

<F->
   l
   l          ^ 
{m o    {n o
   l      ^   
   l    ^      
   l  ^       
   l^       
   o::::::::::::o::
  {o             {x
<F+>

  O ngulo :?{m{o{n*  o complemento do ngulo :?{n{o{x*, e vice-versa.

 Exemplo 3

  Vamos calcular a medida do complemento dos ngulos de 20 e de 50 30.
  Ao indicarmos por x a medida do complemento do ngulo de 20, temos:
 x+20=90
 x=90-20
 x=70
  Ao indicarmos por y a medida do complemento do ngulo de 50 30, temos:
 y+50 30=90
 y=90-50 30
 y=89 60-50 30
 y=39 30

ngulos suplementares

  Considere o ngulo :?{a{o{b*. Com auxlio de uma rgua, vamos 
<P>
 traar a semirreta :,?{o{c*, oposta a :,?{o{a*:

<F->
                {b  ~^
                o^ 
            ~^
        ~^
    ~^
 ~j:::::::::::::::::o::
{o                  {a

                            {b  ~
                            o^ 
                        ~^
                    ~^
                ~^
:o:::::::::::j:::::::::::::::o::
 {c          {o               {a
<F+>

  Com isso, obtemos outros dois ngulos: :?{a{o{c*, que  raso, e :?{b{o{c*.
  A soma das medidas dos ngulos :?{a{o{b* e :?{b{o{c* , portanto, 180.
  Dizemos, por isso, que :?{a{o{b* e :?{b{o{c* so ngulos suplementares.
<170>
  Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas  180.
  Dizemos, ento, que um  suplemento do outro.

  No caso anterior, :?{b{o{c*  suplemento de :?{a{o{b*, e vice-versa.
  Veja alguns exemplos:

Exemplo 1

  Com auxlio de um transferidor e de uma rgua, vamos 
construir o suplemento do ngulo :?{a{o{b*.

<F->
  M         O        A  
  o         o::::::::o::
      B   ~^ 135      
      o~^
   ~^
<P>
  M         O        A  
  o:::::::::o::::::::o::
      B   ~^ 135      
      o~^
   ~^
<F+>

<R+>
 Legenda: O ngulo :?{b{o{m*  o suplemento do ngulo :?{a{o{b*, e vice-versa.

OBSERVAES

  A medida do ngulo :?{b{o{m* (suplemento de :?{a{o{b*)  calculada assim: 180-135=45.
  A semirreta :,?{o{m*  sim-
  trica  semirreta :,?{o{a* em relao ao ponto O.

Exemplo 2
<R->

  O triplo da medida do suplemento de um ngulo somado ao dobro da medida do seu
complemento  620. Vamos calcular a medida desse ngulo.
  Representaremos por:
<R+>
  x a medida do ngulo procurada;
  90-x a medida do complemento desse ngulo;
  180-x a medida do suplemento desse ngulo.
  Assim:
 3'180-x+2'90-x=620
 540-3x+180-2x=620
 -3x-2x=620-540-180
 -5x=-100
 -5x5=-1005
 x=20

<171>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 25- Construa dois ngulos agudos quaisquer
e seus respectivos complementos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
 26- Determine a medida do complemento dos
ngulos cujas medidas so:
 a) 30
 b) 50 
 c) 40 20

 27- Calcule o valor de x nas figuras:

<F->
     a.          l
       a.        l
         a. 55 l
           a.    l
             a.  l
            x  a.l  
 ::::::::::::::::b

 =::::::::::::::::
 l ^~ 26 30
 l x   ^~
 l         ^~
 l             ^~
 l             

<P>
 !::::::::::::::
 l^ x
 l  ^
 l2x ^
 l      ^
 l        ^     
<F+>

 28- Dois ngulos suplementares so congruentes.
O que podemos dizer de suas medidas?
 29- Construa em seu caderno dois ngulos
agudos quaisquer e seus respectivos suplementos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 30- Determine a medida do suplemento dos
ngulos cujas medidas so:
 a) 50 
 b) 120
 c) 40 30
 d) 110 30 40

<P>
 31- Calcule a medida x nas figuras:

<F->
                   ^ 
                 ^   
               ^      
             ^       
       3x ^ x       
::::::::::j::::::::::::::

  ^ 
    ^   
      ^      
        ^       
   x+20 ^ 4x-10       
::::::::::::h:::::::::::

:::::::::::::::::::::::::::
      x-5 ~^ 7x-15
        ~^
    ~^
~^
<F+>

 32- A soma da medida de um ngulo com a
quinta parte da medida de seu suplemento
 60. Calcule a medida desse ngulo.

4. ngulos opostos pelo vrtice

  Voc j aprendeu que:
  Duas retas podem ser paralelas, ou seja, no se interceptarem em nenhum ponto.

<F->
r :::::::::::::::::o 

s :::::::::::::::::o
<F+>

  Assim, no determinam nenhum 
 ngulo entre elas.
  Duas retas podem ser concorrentes, interceptando-se em um ponto (ponto O).
<R->

<F->
r ^~ {a            {b ~^
      o            o 
         ^~ {o ~^ 
             o
         ~^    ^~
      o            o
s ~^ {d            {c ^~  
<F+>

<172>
  Essas retas definem quatro semirretas com origem no ponto O: :,?{o{a*, :,?{o{b*, :,?{o{c* e :,?{o{d*.
  As semirretas :,?{o{a* e :,?{o{c* so denominadas semirretas opostas, 
da mesma maneira como as semirretas :,?{o{b* e :,?{o{d*.

<F->
^~ {a            {b ~^
    o            o 
       ^~ {o ~^ 
           o
       ~^    ^~
    o            o
~^ {d            {c ^~  
<F+>

  As retas ~:,?{a{c* e ~:,?{b{d* tambm definem os quatro ngulos
:?{a{o{b*, :?{b{o{c*, :?{c{o{d* e :?{d{o{a*.
  Observe que os ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d* tm o vrtice O
em comum. Como a semirreta :,?{o{a*  oposta a :,?{o{c* e :,?{o{b* 
oposta a :,?{o{d*, dizemos que os ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d* so
opostos pelo vrtice.

  Dois ngulos so opostos pelo vrtice (indicamos por o.p.v.) quando os lados de um
ngulo so semirretas opostas aos lados do outro.

  De maneira similar, dizemos que os ngulos :?{b{o{c* e :?{d{o{a* so opostos pelo vrtice.

 Propriedade dos ngulos opostos 
  pelo vrtice

  Na figura a seguir, os ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d* so opostos pelo vrtice.

<F->
^~ {a            {b ~^
    o            o 
       ^~ {o ~^ 
           o
       ~^    ^~
    o            o
~^ {d            {c ^~  
<F+>

  Os ngulos :?{a{o{b* e :?{b{o{c* so suplementares e, portanto, a
soma de suas medidas  igual a 180:
 m:?{a{o{b*+m:?{b{o{c*=180
  Considere agora os ngulos :?{c{o{d* e :?{b{o{c*. Esses ngulos tambm so suplementares, pois a
soma de suas medidas  igual a 180:
 m:?{c{o{d*+m:?{b{o{c*=180
  Para encontrar a medida dos ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d*, fazemos estes clculos:
 m:?{a{o{b*=180-m:?{b{o{c*
 m:?{c{o{d*=180-m:?{b{o{c*
  Observe que, para determinar as medidas dos ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d*, subtramos a medida do
ngulo :?{b{o{c* de 180, do que podemos concluir que os ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d* tm medidas iguais,
ou seja, so congruentes.
  De maneira anloga, conclumos que os ngulos :?{b{o{c* e :?{d{o{a* so congruentes.

<P>
  Dois ngulos opostos pelo vrtice tm mesma medida, ou seja, so congruentes.

OBSERVAO

  Dois ngulos opostos pelo vrtice so sempre simtricos em relao ao vrtice.

<173>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 33- Verifique, em cada caso, se os pares de ngulos
assinalados so opostos pelo vrtice.

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 34- Determine x, em graus, e a medida de cada
ngulo desconhecido nas figuras.
<F->
a)

 2x+20 
          
         
       
      
     
      
      
       
   50 
         
           

b)

^~                     ~^
    ^~             ~^
        ^~     ~^ 
  2x-30  {~{  x2+30
        ~^     ^~
    ~^             ^~     
~^                     ^~  
<F+>

 35- Observe a figura _`[{no adaptada_`] e verifique
quais sentenas so verdadeiras.
 a) a=e
 b) a+b+60=180
 c) b+c+d=180
 d) c=60
 e) a=d
 f) a=e+d

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 36- Calcule a medida de cada ngulo assinalado nas figuras.
<F->
a)               l
     a.           l
       a. 3x-5 l
         a.       l
           a.     l
             a.   l
        x+15 a. l  
 :::::::::::::::::b

b)                ^ 
                 ^   
               ^      
             ^       
  3x+20 ^ x       
::::::::::j::::::::::::::
<F+>

 37- Calcule a medida de cada ngulo assinalado nas figuras.
 a)

<F->
^~                     ~^
    ^~             ~^
        ^~     ~^ 
      35  {~{  x
        ~^     ^~
    ~^             ^~     
~^                      ^~  

<P>
b)

^~                     ~^
    ^~     5x     ~^
        ^~     ~^ 
            {~{  
        ~^     ^~
    ~^   3x+60  ^~   
~^                     ^~  

<F+>
 38- A medida de um ngulo mais o dobro da
medida do seu complemento  igual a
150. Calcule a medida do ngulo.
 39- A medida do complemento de um ngulo
mais a medida de seu suplemento  170.
Calcule a medida do ngulo.
 40- Observe a figura e determine os
valores de x e y, em graus.

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<174>
<P>
DIVERSIFICANDO

ngulos e simetria
<R->

  Vanessa vai participar do campeonato "O labirinto dos rbos". Cabe a ela escrever as
informaes corretas do caminho que o rob deve fazer. O objetivo  chegar ao final do
percurso fazendo com que o rob no bata nas paredes do labirinto.

_`[{ilustrao no adaptada_`]

<R+>
_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Com o auxlio da ilustrao anterior, escreva em seu caderno todos os passos que o
rob deve andar para completar o percurso sem bater. Por exemplo: "D 1 passo
e vire 90  esquerda". Cada passo corresponde a um quadrado.
<P>
 2. O labirinto apresenta simetria? E o caminho que o rob deve fazer para chegar ao
final do percurso? Justifique sua resposta.
<R->

Azulejos

  Pedro conseguiu juntar dinheiro para colocar azulejos novos em sua cozinha. Na loja
de materiais para construo, ele resolveu combinar alguns azulejos. Veja as combinaes
que ele conseguiu fazer.

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

<R+>
 Agora, responda s questes em seu caderno.

_`[{para as atividades 1 a 3, pea orientao ao professor_`]

 1. Quantos tipos de azulejos ele usou para fazer a primeira combinao? E a segunda?
<P>
 2. Entre essas combinaes qual apresenta uma figura com eixo de simetria? Quantos
eixos de simetria essa combinao tem?
 3. Formem grupos e, usando os pisos deste exerccio, faam uma nova combinao
que apresente uma figura que tenha eixo de simetria. Escolham um representante
do grupo para que desenhe a combinao no quadro de giz, explique e mostre o
eixo de simetria.
<R->

               oooooooooooo

<175>
<P>
CAPTULO 8 -- Razes e 
  propores

1. O conceito de razo

Mercado brasileiro alcana 147
  milhes de linhas celulares
<R->

  O Brasil est agora com 147 milhes de linhas celulares, para uma
populao de 189,6 milhes. A China possui 624 milhes de linhas
celulares
e 1,3 bilho de habitantes. Na ndia, so 315 milhes de linhas
celulares e 1,2 bilho de pessoas.
  Na comparao com novembro de 2007, quando os usurios somavam
116,3 milhes, a base de clientes de telefonia mvel apresentou
expanso de 26,4%. No acumulado de janeiro a novembro de 2008,
foram 26 milhes de novas linhas.

<R+>
Fonte: ~,www.abril.com.br~
  noticias~, (#ag dez. 2008).
Acesso em: 13 jan. 2009.
<R->

   possvel estabelecer uma relao entre o nmero de linhas celulares
e a populao brasileira escrevendo o quociente:

 Nmero de linhas celulares 
   Populao =147.000.000
  189.600.000

  Se calcularmos esse quociente, encontraremos um valor aproximado
de 0,775. Esse nmero significa que h 0,775 linha celular
para cada brasileiro.
  Esse quociente  chamado de razo. Podemos dizer, ento, que a
razo entre o nmero de linhas celulares e a populao brasileira  de
0,775 para 1.
<176>
  Veja mais um exemplo:

  No vestibular de 2009 da Fundao Universitria para o Vestibular (Fuvest), 138.242 vestibulandos
disputaram mais de 10.500 vagas. A carreira mais concorrida foi a de oficial da Polcia Militar
masculino, em que 2.621 candidatos disputaram 35 vagas. Uma das carreiras menos concorridas
foi a do curso de Cincias da Natureza da USP Leste, com 424 candidatos disputando 120 vagas.

<R+>
 Dados obtidos em: 
  ~,www.fuvest.com.br~,
Acesso em: 13 jan. 2009.
<R->

  Veja algumas razes relativas a essa situao:
<R+>
  A razo entre o nmero de vestibulandos e o nmero de vagas do vestibular da Fuvest 
138.24210.500. Calculando esse quociente, encontramos aproximadamente 13,17, o que significa
que havia cerca de 13 concorrentes para cada vaga oferecida.
  A razo entre o nmero de candidatos para a carreira de oficial da Polcia Militar e o nmero
de vagas para esse curso  2.62135, que  aproximadamente igual a 74,9. Isso significa
que havia cerca de 75 concorrentes para cada vaga desse curso.
<R->

  A razo entre dois nmeros  o quociente entre eles, com o segundo diferente de zero.

  Considere a razo #,e (lemos "razo de 1 para 5"). Ela pode ser representada por:
#,e ou 15, ou 0,2, ou 20%.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 1- Volte ao exemplo do vestibular e calcule a
razo entre o nmero de candidatos para
a carreira de Cincias da Natureza e o
nmero de vagas para esse curso.
Qual  o significado dessa razo?
<P>
 2- Entre os alunos de uma escola, existem
350 meninas e 210 meninos.
 a) Determine a razo entre:
 I. o nmero de meninas e o nmero de meninos;
 II. o nmero de meninos e o nmero de meninas;
 III. o nmero de meninas e o nmero de alunos da escola;
 IV. o nmero de meninos e o nmero de alunos da escola.
 b) Escreva em seu caderno o significado
de cada uma das razes obtidas.

 3- Durante um jogo de futebol entre Nutico e
Santa Cruz, dois times da cidade do Recife
(PE), havia 18.000 torcedores no estdio.
De cada 5 torcedores, 3 torciam para o
Nutico e 2 para o Santa Cruz.
 a) Determine a razo entre o nmero de
torcedores do Nutico e o de torcedores
do Santa Cruz.
<P>
 b) Determine a razo entre o nmero de
torcedores do Nutico e o total de torcedores
no estdio.
 c)  correto afirmar que, dos 18.000
torcedores, 7.200 eram torcedores do
Santa Cruz? Por qu?
 d) Qual  a porcentagem de torcedores do
Nutico que assistiam a esse jogo no
estdio?

<177>
 4- A turma A do 9 ano de uma escola tem
igual nmero de alunas e de alunos. Entre
os rapazes, uma pesquisa revelou o seguinte
quadro sobre o esporte preferido:

<F->
!:::::::::::::::
l futebol  _ 12 _
l vlei    _ 5  _
l basquete _ 2  _
l tnis    _ 1  _
h::::::::::j:::::j
<F+>

<P>
 Determine a razo entre:
 a) o nmero de rapazes que preferem futebol
e o total de rapazes;
 b) os rapazes que preferem vlei e os que
preferem futebol;
 c) os rapazes que preferem tnis e os que
preferem basquete;
 d) os rapazes que preferem basquete e os
que preferem vlei;
 e) o nmero de rapazes e o nmero de
moas;
 f) o nmero de rapazes que preferem futebol
e o total da classe.

 5- Volte ao texto apresentado no incio deste
captulo e faa o que se pede a seguir.
 a) Calcule a razo entre a quantidade de
linhas celulares da China e sua populao.
 b) Faa o mesmo para a ndia.
 c) Qual  o significado das razes que voc
encontrou?
 d) Se compararmos a quantidade de
linhas celulares desses trs pases, 
qual deles tem a maior quantidade de linhas?
 e) Escreva as razes encontradas, inclusive
a relativa ao Brasil, na forma de porcentagem.
 f) O que podemos concluir ao comparar as
razes entre a quantidade de celulares
de cada pas e as respectivas populaes?
Troque ideias com seus colegas de classe.

Pense mais um pouco...
<R->

  A tabela a seguir apresenta algumas informaes sobre a participao e os resultados
do Brasil nas ltimas quatro olimpadas.

<R+>
 _`[{tabela *Participao do Brasil nas ltimas quatro olimpadas* 
adaptada em seis colunas: olimpada -- nmero de atletas homens -- 
nmero de atletas mulheres -- medalhas de ouro -- 
<P>
  medalhas de prata -- medalhas de bronze.
 Atlanta (Estados Unidos, 1996) -- 159 -- 66 -- 3 -- 3 -- 9
 Sidney (Austrlia, 2000) -- 111 -- 94 -- 0 -- 6 -- 6
 Atenas (Grcia, 2004) -- 125 -- 122 -- 5 -- 2 -- 3
 Pequim (China, 2008) -- 144 -- 133 -- 3 -- 4 -- 8_`]

 Dados obtidos em: ~,www.cob.org.br~,
Acesso em: 10 nov. 2008.

 Agora responda s questes em seu caderno.
 a) Escreva as razes que representam, em cada olimpada, a participao feminina
em relao  participao masculina.
 b) Como podemos representar na forma percentual (com duas casas decimais) as
razes encontradas no item *a*?
 c) Em relao ao nmero total de atletas brasileiros, em qual dessas olimpadas a
participao feminina foi maior? Com qual percentual?
 d)  possvel encontrar a razo entre o nmero de medalhas de prata e o de medalhas
de ouro na Olimpada de Sidney? Justifique sua resposta.
 e) Escreva as razes que expressam o nmero total de medalhas de cada categoria
(ouro, prata, bronze) entre o total de medalhas conquistadas pelo Brasil nessas quatro olimpadas.
 f) Construa, em uma malha qua-
  driculada, um grfico de colunas mostrando quantas
medalhas de cada categoria o Brasil conquistou nessas quatro olimpadas.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<178>
<P>
Para saber mais

As razes de uma boa pescaria
<R->

  Bruno e Diego so grandes amigos. Alm de estudarem na mesma escola, saem juntos,
brincam juntos, enfim, fazem quase tudo juntos.

<R+>
 _`[{ilustrao: Bruno e Diego conversam ao telefone. Diego pergunta: 
"Bruno, vamos pescar no prximo domingo?". Bruno responde: "Legal, Diego!
Passe aqui logo pela manh que minha me prepara o lanche e eu, o material de pesca!"_`]
<R->

  Chegado o grande dia, abasteceram as mochilas com lanches, sucos e material de pesca.
Pegaram suas bicicletas e pedalaram at um rio muito frequentado por pescadores, porque
nele h uma grande quantidade de peixes, de diversas espcies.
<P>
  Diego e Bruno tinham de se conformar com uma pescaria "de barranco" (aquela que
o pescador no entra no rio). Ento, instalaram-se prximo a uma rvore que oferecia uma
boa sombra.
  Os meninos usavam iscas e anzis apropriados para a pesca de lambari, e cada peixe fisgado
era comemorado com um largo sorriso.
  A pescaria foi um sucesso, mas trouxe um problema: quem iria limpar tantos lambaris?
A se lembraram da barraca da dona Sueli, que atendia os pescadores do local. Ela aceitou
limpar os peixes e combinaram o preo. Antes de comear o trabalho, dona Sueli verificou que
Bruno havia pescado 3,2 kg e Diego, 4 kg.
<179>
  Enquanto dona Sueli trabalhava, os meninos se distraam vendo os barcos atracados e
os peixes que havia dentro deles. Ao voltarem  barraca, uma surpresa! Dona Sueli havia
colocado todos os lambaris limpos em um nico saco 
<P>
 plstico, indicando em uma etiqueta a massa total: 5,76 kg.
  E agora, quantos quilogramas caberiam a cada um?
  Diego quis pegar os 4 kg que havia pescado, mas Bruno no aceitou, pois logo percebeu
que o restante no dava os 3,2 kg que tinha pescado. Os garotos acabaram concordando que,
como Diego pescou mais, tinha direito a mais quilogramas, mas no sabiam quanto deveria ser.
  Pediram ajuda a um pescador conhecido deles, seu Cludio, que explicou como fazer a
partilha dos lambaris: "Vamos dividir o nmero de quilogramas pescado por Bruno 3,2 kg pelo
nmero de quilogramas pescado por Diego 4 kg". O quociente da diviso entre essas duas grandezas
mostra uma relao entre as quantidades de quilogramas pescadas pelos dois meninos.
Seu Cludio pediu emprestada a calculadora de dona Sueli e fez as contas:

<R+>
 _`[{ilustrao: Seu Cludio faz o clculo: 3,24=0,8_`]
<R->

  Pegou um lpis e um pedao de papel e mostrou que, ao comparar as quantidades de quilogramas
pescadas pelos dois meninos por meio de uma diviso, obtm-se a razo #e.

<R+>
 _`[{ilustrao: Numa folha de papel est a seguinte igualdade: 0,8=#"aj=#e_`]
<R->

<180>
  Da explicou o que isso significava:

<R+>
 _`[{ilustrao: Seu Cludio fala para os meninos: "A razo entre a massa de
peixe que Bruno pescou e a que Diego pescou  de 4 para 5. Ento, dividindo 
a massa total de lambaris limpos em 9 partes iguais, 4 delas pertencem a Bruno
e as outras 5, a Diego!". Os meninos pen-
<P>
  sam em um retngulo dividido em 9 partes iguais: "Um inteiro dividido em 9 partes."_`]
<R->

  Logo que seu Cludio terminou de falar, Bruno disse que j sabia como dividir os lambaris
e chegou  concluso de que ele teria direito a 2,56 kg de peixe.

<R+>
 Responda s questes a seguir em seu caderno.
 a) Explique como Bruno chegou a essa concluso.
 b) Se Bruno tinha direito a 2,56 kg de peixe, a 
quantos quilogramas Diego teria direito?
 c) Chegou a hora de pagar dona Sueli. Como fazer o clculo? Ser que cada um
deve pagar a metade do valor total cobrado?
 d) Dona Sueli cobrou R$3,60 pela limpeza dos lambaris.
  Quanto Diego pagou pela sua parte?
<P>
  Bruno deu R$5,00 para pagar sua parte. Quanto recebeu de troco?

<181>
2. Razo entre grandezas de 
  mesma natureza

  Observe estes quadrados:

<F->
       pccccc 
!:::  l     _
l   _  l     _
h:::j  h:::::j
2 cm   3 cm
<F+>

  A razo entre a medida de um lado do quadrado menor e
a medida de um lado do quadrado maior  #;c.
  Note que aqui comparamos dois comprimentos, que so grandezas de mesma natureza.
  O permetro do quadrado menor  8 cm, e o do quadrado maior, 12 cm.
  A razo entre o permetro do quadrado menor e o permetro do quadrado maior  #"ab.
  Simplificando, obtemos #;c.
  Aqui tambm comparamos dois comprimentos.
  A rea do quadrado menor  4 cm2, e a rea do quadrado maior, 9 cm2.
  A razo entre a rea do quadrado menor e a rea do quadrado maior  #i.
  Nesse caso, comparamos duas reas, que so grandezas de mesma natureza.
<R->

  A razo entre duas grandezas de mesma natureza  o quociente dos nmeros
que expressam as medidas dessas grandezas em uma mesma unidade.

  Veja mais um exemplo:
  A caixa-d'gua da casa do meu vizinho tem capacidade de 1.000 dm3. A piscina da casa dele
tem capacidade de 60 m3. Para determinar a razo entre a capacidade da caixa-d'gua e a
capacidade da piscina, devemos, inicialmente, escrever essas duas grandezas em uma mesma unidade de medida.

1.000 dm3=1 m3

  Ento, a razo procurada  #,fj.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 6- Considere o segmento ^c?{a{c*:

<F->
{a      {b          {c
o::::::o::::::::::o
  4 cm     6 cm
<F+>

 Determine, em seu caderno, a razo entre as medidas dos segmentos:
 a) ^c?{a{b* e ^c?{b{c* 
 b) ^c?{a{b* e ^c?{a{c* 
 c) ^c?{b{c* e ^c?{a{c*
 d) ^c?{b{c* e ^c?{a{b*

 7- Uma latinha de refrigerante tem capacidade de 350 mL, e uma garrafa, de 2 litros. Determine
a razo entre a capacidade dessa latinha e a capacidade dessa garrafa. 

<182>
 8- Considerando um tringulo, unidade de medida de
rea e a figura a seguir, determine:

 _`[{figura formada por quinze tringulos iguais, sendo sete pintados de azul e oito de laranja_`]

 a) a razo entre a rea da parte laranja e
a rea da parte azul da figura;
 b) a razo entre a rea da parte azul e a
rea da parte laranja da figura;
 c) a razo entre a rea da parte azul e a
rea total da figura.
<P>
 9- Observe este retngulo:

<F->
  8 cm
pcccccccc
l        _
l        _
l        _
l        _ 120 mm
l        _
l        _
l        _
l        _
v--------#
<F+>

 Determine em seu caderno:
 a) a razo entre a medida da altura e a medida da base do retngulo;
 b) a razo entre a medida da base e o permetro do retngulo;
 c) a razo entre a medida da altura e o permetro do retngulo.
<P>
 10- Observe o anncio a seguir e responda s
questes em seu caderno.

 _`[{anncio adaptado_`]
 OFERTAS
 Molho de tomate A -- 200 g -- R$2,40
 Molho de tomate B -- 450 g -- R$5,00
 _`[{fim do anncio_`]

 a) Qual  a razo entre o preo do molho
de tomate da marca A e o do molho de
tomate da marca B?
 b) Qual  a razo entre a massa do molho
de tomate da marca A e a do molho de
tomate da marca B?

 11- Um jogo de equilbrio!
Observe as balanas a seguir e encontre
o nmero de xcaras que devem estar no prato da balana 
<P>
  D, para que ela fique em equilbrio com a jarra.

 _`[{quatro balanas em equilbrio:
 Balana A: no prato da esquerda h uma jarra e no prato da direita, um bule;
 Balana B: no prato da esquerda h uma jarra e no prato da direita, uma xcara e um pires;
 Balana C: no prato da esquerda h trs pires e no prato da direita, dois bules;
 Balana D: no prato da esquerda ... e no prato da direita, uma jarra_`]

 a) Qual  a razo entre a massa de um
pires e a massa de uma xcara?
 b) Qual  a razo entre a massa de um
bule e a massa de um pires?

 12- Uma pesquisa foi realizada para descobrir
a preferncia entre duas marcas de chocolate:
Chococlube e Chocomix. A empresa
que realizou a pesquisa apresentou o seguinte
resultado a seus clientes:
A razo entre aqueles que preferem Chococlube
a Chocomix  de 4 para 3.
 a) Como deve ser interpretado esse resultado?
 b) Se voc trabalhasse nessa agncia de
pesquisas, como apresentaria o resultado para seus clientes? 
<R+>

<183>
Pense mais um pouco...
<R->

  Um programa de televiso distribuiu prmios
em dinheiro para quatro participantes.
Pedro e Melissa, juntos, receberam a metade
dos prmios na razo de #c. Vanessa recebeu
o dobro de Melissa. E Mrcio, o ltimo participante,
recebeu R$500.000,00. Qual  o valor
total dos prmios distribudos?

<P>
Escala

  Observe o mapa.

<R+>
_`[Mapa da Regio Sul do Brasil, no adaptado_`] 
<R->

  Nesse mapa, a distncia entre Porto Alegre e
Florianpolis, em linha reta,  2,1 cm. A distncia
real, em linha reta, entre essas duas cidades  357 km.
  Vamos calcular a razo entre a distncia que est
no mapa e a distncia real entre as duas cidades.
Para isso, precisamos ex-
 press-las em uma mesma unidade de medida.
  Transformaremos 357 km (distncia real) em centmetros:
 357 km=35.700.000 cm.
  Portanto, a razo procurada  dada por:

2,135.700.000=117.000.000=
  =117.000.000

<P>
  A razo 117.000.000 significa que cada centmetro no mapa corresponde a 17.000.000 cm
reais, isto , cada centmetro corresponde a 170 km. Isso em um mapa pode ser indicado assim:

<F->
 0   170 km
  v------#
<F+>

  A esse tipo de razo chamamos de escala.

  Escala  a razo entre um comprimento em um desenho (ou outra representao
qualquer) e o correspondente comprimento real, expressos em uma mesma
unidade de medida.

<R+>
 escala=nmero que expressa o comprimento no desenhonmero que expressa o comprimento real

<184>
  Veja outros exemplos:
 a) As miniaturas de trens so construdas
segundo uma escala. Uma das
escalas mais usadas nesse tipo de
construo  a H0 (half zero), cuja
razo  #,hg. Isso significa que
cada unidade de medida na miniatura
corresponde a 87 unidades
de medida no tamanho real. Por
exemplo, cada 1 cm na miniatura
corresponde a 87 cm no tamanho real.
 b) As plantas de casas e apartamentos tambm so desenhadas obedecendo a uma escala.
Existem programas de computador prprios para isso. Entretanto, quando essas plantas
so feitas  mo, geralmente se usa uma rgua chamada escalmetro. Observe as fotos:

 _`[{trs fotos (A, B e C) de um escalmetro_`]
 Legenda: Fotos de um mesmo escalmetro; a foto A apresenta um destaque para a escala de #,bj.
<R->

  No escalmetro, o nmero que est do lado esquerdo do zero indica a escala que est sendo
utilizada. Por exemplo, na foto A o nmero 20 indica que a escala  de 1 para 20.
  O escalmetro facilita o traado do desenho, pois as unidades nele marcadas correspondem
a 1 metro, em todas as escalas apresentadas. O escalmetro das fotos apresenta as escalas:
#,bj, #,be, #,ej, #,ge, #,ajj e #,abe.

<185>
<R+>
 c) Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento  re-
  presentado em um desenho por 20 cm. Qual  a escala do desenho? 
Primeiro transformamos 8 m (comprimento real) em centmetros: 8 m=800 cm

 escala = nmero que expressa o comprimento no desenho  nmero que expressa o comprimento real 
=20800=#,dj ou 140

 Logo, a escala desse desenho  #,dj.

 d) Em um mapa, a distncia entre Braslia e Joo Pessoa foi representada por 5,5 cm. Esse
mapa foi desenhado na escala 131.000.000. Qual  a distncia aproximada, em quilmetro,
entre essas cidades?
 A escala indica que cada centmetro, no mapa, representa uma distncia real de
31.000.000 cm, o que equivale a 310 km.
 Logo, 5,5 cm equivalem a 5,5'310 km=1.705 km.
 Portanto, a distncia entre as duas cidades  1.705 km.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 13- A distncia entre duas cidades, em linha
reta,  500 km, e foi representada em um
mapa por um segmento de 5 cm. Qual foi
a escala utilizada nesse mapa?
 14- O comprimento da sala de um apartamento
 representado em uma planta por 28 cm.
Sabendo que o comprimento real da sala 
7 m, que escala foi usada nessa planta?
 15- Mauro quer desenhar o terreno de sua
casa, que  retangular e mede 15 m de
frente por 20 m de fundo. Ele quer desenh-lo
em uma folha que tem 28 cm de comprimento e
18 cm de largura, na escala 1100. O desenho
do terreno caber nessa folha? E se a escala
usada for 120?

 16- A planta de uma casa foi desenhada com
um escalmetro na escala 1125. Nessas
condies, responda em seu caderno:
 a) Qual  o comprimento real, em metro,
de uma sala que, nessa planta, foi representado
por um segmento de 5,2 cm?
<P>
 b) Os quartos dessa casa medem 3 m por
4 m. Quais so as medidas dos quartos
nessa planta?
 c) O terreno, na planta, mede 6,4 cm por
28 cm. Quais so as medidas reais desse
terreno, em metro?

_`[{para as atividades 17 e 18, pea orientao ao professor_`]

 17- Desenhe em seu caderno a planta do
quarto em que voc dorme. Use a escala
175.
 18- Uma caminhonete de 4,80 m de comprimento
foi representada na figura _`[{no adaptada_`].
Determine a escala utilizada para fazer essa figura. 

<P>
<186>
 19- Observe a planta do apartamento e responda
s questes em seu caderno:

 escala=1150

<F->
             $::::::::::~, 
             _          _  _
             _          _  _
             _          _  _  
!:::::::::::j          _  _
l WC           sala   _  _ 3 cm
l       l               _  _
h:::::::j:  :          _  _
l            _          _  _
l            _          _  _
l            _          _.#
l dormitrio _:  :::::::w  
l            _          _^a
l            _  cozinha _  _ 1,4
l            _          _  _   cm 
h::::::::::::j::::::::::j~,j
              v---------#
                2,0 cm
<F+>

 a) Quais so as medidas reais da cozinha?
<P>
 b) Determine a rea da sala no tamanho real.

 20- No mapa a seguir, esto marcados os pontos
extremos do Brasil: no norte, a nascente do
rio Ail (fronteira do Brasil com a Guiana),
no monte Cabura, em Roraima; no sul, o
arroio Chu, no Rio Grande do Sul (fronteira
do Brasil com o Uruguai); no leste, banhado
pelo oceano Atlntico, a Ponta do Seixas,
na Paraba; e, no oeste, a nascente do rio
Moa (fronteira do Brasil com o Peru), na
serra de Contamana, no Acre.

 _`[{mapa *Pontos Extremos do Brasil*. A seguir, a distncia entre esses pontos:
<P>
 o de norte a sul: 4.394 km
 o de leste a oeste: 4.319 km_`]

 Fonte: *Enciclopdia do estudante*: geografia do Brasil, aspectos fsicos, 
econmicos e sociais. So Paulo: Moderna, 2008. p. 18. 

Calcule a escala que foi usada na elaborao desse mapa.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Pense mais um pouco...
<R->

  Em um folheto de propaganda de um novo condomnio, junto ao mapa do local, vem
escrito: "Mapa da localizao sem escala". O que isso quer dizer?

<P>
3. Razo entre grandezas de 
  naturezas diferentes

  J sabemos como determinar a razo entre duas grandezas de mesma natureza. Nessas
razes, usamos apenas os nmeros que expressam as medidas dessas grandezas.
  Agora voc vai conhecer algumas razes com grandezas de naturezas diferentes.

Gramatura de um papel

  Observe, a seguir, o pacote de papel para impresso.

<R+>
 _`[{figura: Um pacote de papel com as informaes a seguir:
Papel Branco -- A4 -- 75 g/m_`]
<R->

  Na parte do pacote pintada de amarelo, est escrito
75 g/m. Isso significa que cada metro quadrado desse
papel tem 75 g de massa.
<187>
<P>
  A esse tipo de razo chamamos de gramatura do papel.

<R+>
gramatura = massa do papel  rea do papel
<R->

  Note que as grandezas massa e rea so de naturezas diferentes. Por isso, a razo no  expressa
s por um nmero, mas por um nmero acompanhado da unidade de medida correspondente.
  Nesse exemplo, a razo (gramatura)  dada por 75 g/m (lemos "75 gramas por metro quadrado").

Velocidade mdia

  Um carro parte da cidade A para a cidade B. A distncia entre elas  140 km, e o carro leva
2 horas 2 h para fazer esse trajeto.
  Vamos calcul ar a razo entre a distncia percorrida e o tempo
gasto para isso. Observe que es-
<P>
 sas grandezas so de naturezas diferentes.
  Ento, 140 km2 h=70 km/h (lemos "70 quilmetros por hora").
  A esse tipo de razo chamamos de velocidade mdia.

<R+>
velocidade mdia = distncia 
  percorrida  tempo gasto
<R->

Densidade demogrfica

  O estado de Minas Gerais tem uma rea aproximada de 586.528,3 km e, em 2007, sua
populao era de 19.273.506 habitantes.
  Dividindo o nmero de habitantes pela rea, vamos obter o nmero de habitantes por
quilmetro quadrado (hab./km): 19.273.506586.528,3 km, que  cerca de 32,86 hab./km (lemos
"32,86 habitantes por quilmetro quadrado").
<P>
  A esse tipo de razo chamamos de densidade demogrfica.

<R+>
densidade demogrfica = nmero de habitantes  rea da regio
<R->

Consumo mdio

  Um carro percorreu 444 km e gastou 37,5 L de combustvel. Dividindo o nmero de quilmetros
percorridos pelo nmero de litros de combustvel consumidos, teremos o nmero
de quilmetros que esse carro percorreu com 1 litro de combustvel. Observe:

<R+>
444 km37,5 L=11,84 km/L (lemos "11,84 quilmetros por litro").
<R->

  A esse tipo de razo chamamos de consumo mdio.

<R+>
consumo mdio = distncia 
  percorrida  volume de 
  combustvel consumido

<188>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 21- A distncia rodoviria entre So Paulo
e Rio de Janeiro  de aproximadamente 400 km.
Qual  a velocidade mdia de um nibus
que faz esse percurso em 6 horas e 30 minutos?
 22- Entre 1968 e 1969, Robin Knox-Johnson
foi a primeira pessoa a dar a volta ao
mundo em um barco a vela, sozinho e
sem aportar, isto , sem se deter em lugar
algum. Percorreu um total de 48.478 km
em 312 dias. Qual foi sua velocidade mdia
em quilmetros por dia?
 23- A rea do estado da Bahia  564.692,7 km.
Segundo o IBGE, em 2007, a densidade
demogrfica desse estado era, aproximadamente,
24,9 hab./km. Determine a populao aproximada
que o estado da Bahia tinha nesse ano.
 24- Uma barra de prata tem volume de 1,2 dm
e massa de 12,6 kg. Sabendo que a densidade
de um material  a razo entre sua
massa e seu volume, determine a densidade
da prata em g/cm.
 25- A densidade do mrmore  de 2,6 g/cm. Quantos quilo-
  gramas tem uma pedra de mrmore com 12,40 dm?
 26- Enchi de gasolina o tanque de meu carro
e percorri 392 km em uma rodovia. Parei
para abastecer o carro e foram necessrios
35 litros de gasolina para encher o tanque
novamente. Qual foi o consumo mdio de
meu carro nesse trajeto?
 27- A conta de um servio de gua e esgoto
apresentou os seguintes dados, referentes
ao consumo de gua em uma residncia,
no ms de junho:
 leitura anterior: 5.907 m
 leitura atual: 5.973 m
 Determine, em seu caderno, o consumo
mdio dirio de gua, em litros por dia
(L/dia), dessa residncia nesse ms.
 28- Em uma fazenda, h uma piscina com
estas dimenses: 15 m de comprimento,
5 m de largura e 2 m de profundidade. Ela
est cheia de gua at a borda. Desejando-se
esvazi-la para proceder  limpeza dos
azulejos, usa-se uma bomba que retira a
gua da piscina  razo de 2.000 litros
por hora. Quanto tempo  necessrio para
esvaziar completamente essa piscina?

<189>
 29- Rodrigo foi ao supermercado comprar sabo
em p e encontrou duas opes de embalagens
da marca que costuma comprar.

_`[{figura de duas embalagens_`]
 Embalagem A: Sabo em p Ana -- 4,5 kg -- R$22,00
 Embalagem B: Sabo em p Ana -- 1,2 kg -- R$5,12

 a) Rodrigo decidiu comprar a embalagem
menor, pois considerou a mais vantajosa.
Rodrigo tem razo? Como ele pode
ter chegado a essa concluso?
 b) Troque ideias com um colega e redijam um
texto que justifique a deciso de Rodrigo.
 c) Se a embalagem menor no tivesse os
200 gramas grtis, ela ainda seria a mais
vantajosa? Justifiquem a resposta.
 d) Quando vo s compras, vocs costumam
fazer comparaes entre embalagens e
preos de produtos de mesma qualidade?
Qual  a importncia de ter essa atitude?

 Pense mais um pouco...
<R->

  O Produto Interno Bruto (PIB)  o total de bens e de servios
produzidos por um pas durante um ano.
  A razo entre o PIB e o nmero de habitantes de um pas  chamada de renda per
capita. A renda per capita de um pas equivale  quantia, em dlar, que cada habitante
receberia caso o PIB fosse 
<P>
 dividido igualmente entre toda a populao.

<R+>
 _`[{tabela adaptada, formada por trs colunas: Pas -- Produto Interno Bruto
(em dlares) -- Nmero de habitantes.
 A -- 300.000.000 -- 25.000.000  
 B -- 450.000.000 -- 40.000.000  
 C -- 530.000.000 -- 100.000.000_`]

 Responda s questes a seguir em seu caderno.
 a) Calcule a renda per capita de cada um desses pases.
 b) Comparando as rendas per capita do item *a*, qual dos pases  mais rico?
 c) O fato de a renda per capita de um pas ser alta significa que todos os habitantes
vivam bem? Justifique sua resposta.

<P>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 30- Considere dois quadrados. Um deles tem
12 cm de lado (quadrado menor) e o outro,
15 cm de lado (quadrado maior). Responda
s questes em seu caderno.
 a) Qual  a razo entre a medida do lado do
quadrado menor e a medida do lado do quadrado maior?
 b) Qual  a razo entre o permetro do quadrado
menor e o permetro do quadrado maior?
 c) Qual  a razo entre a rea do quadrado
menor e a rea do quadrado maior?

 31- Resolva o problema em seu caderno.
(Vunesp) Em uma festa, a razo entre o
nmero de moas e o de rapazes  1312.
A porcentagem de rapazes na festa :
 a) 44% 
 b) 45% 
 c) 40% 
 d) 48%
 e) 46%

 32- (UFC-CE) Em um mapa cartogrfico,
4 cm representam 12 km. Nesse mesmo
mapa, 10 cm representaro quantos quilmetros?

<190>
 33- Um ourives confecciona joias e coloca
6 gramas de prata em cada 18 gramas de ouro puro.
 a) Qual  a razo entre a massa de prata
e a massa de ouro puro que esse ourives usa?
 b) Se em uma joia esse ourives usar
4,5 gramas de ouro puro, de quantos
gramas de prata ele precisar?

 34- Resolva em seu caderno.
(UFRGS-RS) Se a escala de um mapa  5
por 2.500.000 e dois pontos no mapa esto
 distncia de 25 cm, ao longo de 
<P>
  uma rodovia, a distncia real em km :
 a) 100 
 b) 125 
 c) 150 
 d) 200
 e) 250

 35- Uma moto percorreu 225 km em 2,5 h.
 a) Qual foi a velocidade mdia da moto,
em km/h, nesse percurso? 
 b) Nessa mesma velocidade, em quanto
tempo essa moto percorreria 270 quilmetros?
 c) Qual  o consumo mdio dessa moto,
se, percorrendo 259 km, ela gastou
14 litros de combustvel?

 36- Resolva em seu caderno.
(UFC-CE) A planta de um apartamento est
confeccionada na escala 150. Ento, a rea
real, em m, de uma sala re-
<P>
  tangular, cujas medidas na planta so 12 cm e 14 cm, :
 a) 24 
 b) 26 
 c) 28 
 d) 42 
 e) 54

4. Proporo
<R->

  Adriano  colecionador de gibis. A cada 5 gibis de sua coleo, 1  de histrias em quadrinhos
feitas no estilo japons (mang).
  Dessa maneira, a cada 10 gibis, 2 so mangs; a cada 15 gibis, 3 so mangs; a cada 20 gibis,
4 so mangs; e assim por diante.
Podemos, ento, obter as razes: 15, 210, 315 e 420.
  Observe que todas essas razes so iguais a 15: 15=210, 15=315 e 15=420.
  Sentenas como essas, que representam uma igualdade entre duas razes, so chamadas
de proporo. 

<191>
  Proporo  uma igualdade entre duas razes.

  A proporo 15=210 pode tambm ser indicada assim: 15=210.
  Em ambos os casos, essa proporo  lida: "um est para cinco assim como dois est para dez".
  De modo geral, podemos dizer que os nmeros *a*, *b*, *c* e *d*, no nulos, formam nessa ordem
uma proporo quando ab=cd.
<R+>
  Os nmeros *a*, *b*, *c* e *d* so os termos da proporo.
  Os termos *a* e *d* so chamados de extremos da proporo.
  Os termos *b* e *c* so chamados de meios da proporo.
<R->
  Por exemplo, na proporo 15=210 os extremos so 1 e 10, e os meios, 5 e 2.
  Vamos verificar se os nmeros 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporo:
 46=23
 1015=23
  As razes so iguais; logo, 46=1015.
  Portanto, os nmeros 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporo.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 37- Escreva em seu caderno como se l a proporo
45=810. Em seguida, identifique:
 a) os termos dessa proporo;
 b) os meios dessa proporo;
 c) os extremos dessa proporo.

 38- Verifique em cada caso se os nmeros,
nessa ordem, formam uma proporo. Em
caso afirmativo, escreva em seu caderno a proporo.
 a) 2, 5, 8 e 20 
 b) 2, 8, 20 e 5 
 c) 6, 14, 9 e 27
 d) 0,9; 0,6; 15 e 10

 39- Verifique se as medidas dos segmentos ^c?{a{b*,
^c?{c{d*, ^c?{e{f* e ^c?{g{h*, nessa ordem, formam uma proporo. Jus-
tifique sua resposta em seu caderno.

<F->
r:::w:::w:::w
A          B

r:::w:::w:::w:::w
C              D

r:::w:::w:::w:::w:::w:::w
E                      F

r:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w:::w
G                              H
<F+>
<F+>

 40- Mea os lados das regies retangulares
_`[{no adaptadas_`] e determine em seu caderno:
 a) a razo entre o comprimento do retngulo
menor e o do retngulo maior;
 b) a razo entre a largura do retngulo
menor e a largura do retngulo maior;
<P>
 c) a proporo formada no caso de essas
razes serem iguais.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<192>
 41- Um mercado vende o mesmo tipo de feijo
em pacote de 2 kg por R$2,60 e em pacote
de 5 kg por R$6,40.
 a) Para cada pacote, determine a razo
entre o preo e a massa.
 b) Essas razes formam uma proporo?
Justifique sua resposta.
 c) Entre os dois pacotes, qual deles  mais
vantajoso comprar? Por qu?
 d) Qual deveria ser o preo do pacote de
2 kg para que sua compra fosse to
vantajosa quanto a compra do pacote de 5 kg?

 42- Em uma pesquisa, foi obtida a quantidade
de quilocalorias gastas por uma pessoa, no
perodo de 1 hora, quando faz determinadas
atividades. Veja o grfico a seguir.

 _`[{grfico *Quilocalorias gastas por uma pessoa de aproximadamente 75 kg em 1 hora*. Contedo a seguir:
 Correr `(15 km/h`): 900
 Pedalar `(20 km/h`): 660
 Jogar basquete: 500
 Cortar lenha: 400
 Cavalgar: 350
 Nadar: 300
 Caminhar: 210
 Ficar sentado: 100_`]

 Dados obtidos em:
  ~,www.viverbem.fmb.unesp.br~,
Acesso: 15 jan. 2009.

 Analise o grfico e responda no caderno:
 a) Qual  a razo entre as quantidades de
quilocalorias gastas para ficar sentado
e para jogar basquete?
<P>
 b) Qual  a razo entre as quantidades
de quilocalorias gastas para cavalgar e
para correr?
 c) Qual  a razo entre as quantidades
de quilocalorias gastas para caminhar
e para cavalgar? Qual  a razo entre
as quantidades de quilocalorias gastas
para caminhar e para nadar? As duas
razes formam uma proporo?
 d) A razo 45 corresponde  razo entre
as quantidades de quilocalorias gastas
em quais atividades?
 e) Qual  a razo entre as quantidades de
quilocalorias gastas para ficar sentado
e para nadar? Qual  a razo entre as
quantidades de quilocalorias gastas
para nadar e para correr? Em termos
de quantidade de quilocalorias gastas,
pode-se dizer que "ficar sentado est
para nadar, assim como nadar est para
correr"?
<P>
 43- Escreva em seu caderno uma proporo
na qual uma das razes seja 59.
 44- Para que os nmeros 15, x, 3 e 4 formem,
nessa ordem, uma proporo, qual deve ser o valor de x?

5. Propriedade fundamental das propores
<R->

  Considere a proporo 65=1815.
<R+>
  Os extremos dessa proporo so 6 e 15, e seu produto  90.
  Os meios so 5 e 18, e seu produto tambm  90.
<R->
  Observe que, na proporo 65=1815, o produto
dos meios  igual ao produto dos extremos.
  Considere estas outras propores:
<R+>
 a) 0,90,6=1510
  Note que: 0,9.10=15.0,6
 0,9.10=9 :> produto dos extremos
 15.0,6=9 :> produto dos meios
<193>
 b) 812=1218
  Note que: 8.18=12.12
 8.18=144 :> produto dos extremos
 12.12=144 :> produto dos meios
<R->

  Isso acontece em todas as propores.

  Em toda proporo, o produto dos extremos  igual ao produto dos meios.

  Essa  a propriedade fundamental das propores.
  Por meio dessa propriedade, tambm podemos reconhecer 
quando duas razes formam uma proporo.
  Veja mais alguns exemplos:
<R+>
 a) 810 e 2430 formam uma proporo, pois: 8.30=10.24
 8.30=240 :> produto dos extremos
 10.24=240 :> produto dos meios
<P>
 b) 43 e 129 formam uma proporo, pois: 4.9=3.12
 4.9=36 :> produto dos extremos
 3.12 :> produto dos meios

 c) 24 e 53 no formam uma proporo, pois o produto dos extremos (2'3=6)  diferente
do produto dos meios (4'5=20).
<R->

  Agora observe como podemos encontrar o valor desconhecido de um termo em uma
proporo usando a propriedade fundamental.

Exemplo 1

  A maquete de um ginsio de esportes foi construda de tal forma que cada 9 cm na maquete
corresponde a 250 cm na realidade, ou seja, a escala usada foi 9250. A maquete
tem 54 cm de altura. Vamos calcular a altura real desse ginsio de esportes.
  Assim, temos:

<R+>
 escala = nmero que expressa o comprimento no desenho  nmero que expressa o comprimento real
 9250=54x
<R->

  Observe que obtivemos uma proporo.
  Aplicando a propriedade fundamental das propores e resolvendo a equao obtida, temos:
 9x=54'250
 9x9=?54'250*9
 x=1.500
  Logo, a altura real desse ginsio  1.500 cm, ou seja, 15 m.

<194>
Exemplo 2

  Vamos calcular o valor de x na proporo: ?3x-1*?x+4*=23.
 3'(3x-1)=2'`(x+4)
 9x-3=2x+8
 9x-2x=8+3
 7x=11
 7x7=117
 x=117

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 45- Aplicando a propriedade fundamental das
propores, verifique se o par de razes
96 e 128 formam uma proporo.
 46- Em uma proporo, o produto dos extremos
 24 e um dos meios  8. Calcule, em
seu caderno, o outro meio.
 47- Uma proporo tem meios 6 e 10. Um dos
extremos  4, qual  o outro extremo?

 48- Calcule em seu caderno o valor de x nas
propores:
 a) 6x=912
 b) 2x3=-2415
 c) 34=5x20
 d) ?x+5*3=?x-1*5

 49- Para que valor de x os nmeros 5x-1,
x+2, 3 e 4 formam, nessa ordem, uma proporo?

 50- Douglas e Eduardo participaram do sorteio
de um prmio em dinheiro. Eles combinaram
que, se um dos dois fosse sorteado, eles dividiriam 
o prmio na razo de 5 para 3, de modo que o amigo
sorteado ficaria com a maior parte. Eduardo foi sorteado
e ficou com R$6.250,00.
 a) Com quanto Douglas ficou?
 b) Qual foi o valor total do prmio?

 51- A miniatura de um carro, construda
na escala 196, tem 5,5 cm de comprimento.
Qual  o comprimento real do carro?

 52- Luciana foi a uma pizzaria comemorar
seu aniversrio com a famlia. Como havia
muitas pessoas, no foi possvel acomod-los
na mesma mesa. Ento, eles foram divididos
em dois grupos da seguinte forma:

 _`[{figura de duas mesas. Na primeira esto
sentadas nove pessoas e na segunda, cinco_`]
<P>
 a) Sabendo que os convidados da mesa menor
comeram 2 pizzas e meia e considerando que os 
convidados da mesa maior comeram proporcionalmente a
mesma quantidade de pizzas da mesa menor, quantas eles comeram?
 b) Ao dividir a conta, os convidados da mesa menor pagaram
R$90,00 no total e os da mesa maior, R$120,00. Essa diviso
foi justa? Justifique sua resposta.

<195>
Pense mais um pouco...
<R->

  Observe a planificao de um cubo no qual foi escrita
uma razo em cada uma de suas faces.
  Determine, em seu caderno, o valor de x, y e z, sabendo que
<P>
as razes das faces opostas formam uma proporo.

<F->
          $::::
          _ E _
$::::::::w::::w::::
_ A _ B _ C _ D _ 
::::j::::w::::w::::j
          _ F _
          ::::j 
<F+>

<R+>
 Legenda:
 A=?x+2*2
 B=?5+y*?y-1*
 C=#e
 D=#:e
 E=?2,5+z*3
 F=#*b 

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 53- Verifique em cada caso se os nmeros,
nessa ordem, formam uma proporo.
 a) 3, 2, 9 e 6
 b) 4, 3, 3 e 8

 54- Em uma proporo, o produto dos extremos
 80 e um dos meios  4. Calcule, em
seu caderno, o outro meio.

 55- Calcule, em seu caderno, o valor de x nas propores:
 a) x4=912
 b) 56=10?x+8*
 c) ?x-5*3=?x-1*5
 d) 2x5=-2415
 
 56- Para que valor de x os nmeros 2x-1,5,
x+2 e 3 formam, nessa ordem, uma proporo?

 57- A razo entre as medidas das arestas de
dois cubos  de 2 para 3. A aresta do cubo
menor mede 3,6 cm. Determine, em seu caderno:
 a) a medida da aresta do cubo maior;
 b) a razo entre as reas de uma das faces
do cubo menor e do cubo maior;
 c) a razo entre os volumes do cubo menor
e do cubo maior.

 58- Em uma lanchonete, a cada 5 pastis vendidos,
so vendidas 2 empadinhas. Se no final de um dia foram
vendidas 72 empadinhas, quantos pastis foram vendidos?
 59- Um poste de 5,40 m projeta uma sombra de 1,80 m.
Nesse mesmo instante, um prdio projeta uma sombra 
de 14 m. Qual  a altura do prdio?
 60- Um ourives confecciona pulseiras. Para
cada 18 g de ouro, ele mistura 4 g de prata.
Se uma pulseira tem 20 g de ouro, quantos
gramas de prata ela ter?
 61- Caatinga (que em tupi-
  -guarani significa
"mata branca")  um sistema ambiental
exclusivamente brasileiro, encontrado no
Nordeste e em uma pequena parte de Minas
Gerais e do Maranho. A vegetao da caatinga
 formada por pequenas rvores, comumente
espinhosas, que perdem as folhas na longa estao de
seca, poca em que os troncos adquirem
um tom acinzentado. A caatinga abriga a mais povoada regio
semirida do planeta. So 28 milhes de
pessoas distribudas em uma superfcie de
844 mil km. Qual  a densidade demogrfica dessa regio?

 62- Resolva em seu caderno.
(Ulbra-RS) gua e tinta esto misturadas na razo de 9 
para 5. Sabendo-se que h 81 litros de gua na mistura, 
o volume total em litros  de:
 a) 45
 b) 81
 c) 85
 d) 181
 e) 126

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte

